Программа курса математического анализа IV семестр, часть I
Двойной интеграл Римана, определение. Вычисление массы неоднородной пластины и объема криволинейного цилиндра. Суммы Дарбу и их свойства, критерии интегрируемости. Пример ограниченной неинтегрируемой функции двух переменных.
Свойства двойного интеграла. Существование двойного интеграла от непрерывной и разрывной функции. Сведение двойного интеграла к повторному (случаи прямоугольной области и криволинейной трапеции). Изменение порядка интегрирования.
Геометрический смысл модуля якобиана. Замена переменных в двойном интеграле. Полярная система координат. Приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл. Задачи, приводящие к тройному интегралу. Критерий существования тройного интеграла. Интегрируемость непрерывных и разрывных функций трех переменных.
Вычисление тройного интеграла, сведение к повторным (случаи параллелепипеда и криволинейного цилиндра). Принцип Кавальери.
Замена переменных в тройном интеграле. Геометрический смысл модуля якобиана. Приложения тройного интеграла. Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Криволинейный интеграл I рода, определение, свойства, вычисление.
Ориентация кривой. Криволинейный интеграл II рода, определение, свойства, вычисление.
Вектор-функции одного переменного: непрерывность, дифференцируемость, свойство производной. Связь между криволинейными интегралами I и II рода.
Программа курса математического анализа IV семестр, часть II
Ориентация границы плоской области. Формула Грина, вывод. Векторная запись формулы Грина. Формулы интегрирования по частям в двойном интеграле, 1-ая и 2-ая формулы Грина для оператора двумерного Лапласа, вычисление площади через криволинейный интеграл.
Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования (эквивалентные утверждения). Потенциальные векторные поля. Вычисление потенциала.
Поверхности в R3: гладкие, кусочно-гладкие, без особых точек. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Двусторонние и односторонние поверхности. Выбор стороны. Площадь поверхности, ее вычисление (различные формулы).
Поверхностные интегралы I рода, определение, свойства, вычисление, приложения. Поверхностные интегралы II рода по данной стороне поверхности. Гидродинамический смысл интеграла II рода. Поток векторного поля через данную сторону поверхности. Соленоидальные векторные поля.
Формула Гаусса-Остроградского, вывод, векторная запись. Формулы интегрирования по частям в тройном интеграле, 1-ая и 2-ая формулы Грина для трехмерного оператора Лапласа. Вычисление объемов через поверхностный интеграл.
Ориентация кусочно-гладкой поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Формула Стокса, вывод, векторная запись. Ротор векторного поля. Условие потенциальности поля в поверхностно-односвязных областях. Условие соленоидальности поля в объемно-односвязных областях.
Программа курса математического анализа IV семестр, часть III
Ряды Фурье по тригонометрической системе.
Неравенство Бесселя и его следствия.
Выражение частичной суммы ряда Фурье через ядро Ди рихле.
Теорема Дирихле.
Теорема о почленном дифференцировании ряда Фурье.
Разложение в ряд Фурье на произвольном промежутке.
Понятие замкнутости тригонометрической системы.
Равенство Парсеваля.
Литература:
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II. М.: Наука, 1980
