Дисциплина: Алгебра и геометрия. Лекция
Преподаватель: Пак Геннадий Константинович
Алгебра
03.09.2009: Решение систем линейных уравнений методом последовательных исключений - метод Гаусса. Матрица. Виды матриц.
07.09.2009: Целые числа. Теория делимости. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель (НОД). Алгоритм Евклида для нахождения НОД. Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя. Теорема Евклида
14.09.2009: Наименьшее общее кратное (НОК). Простые числа. Основная теорема арифметики кольца целых чисел. Каноническое представление натуральных чисел.
21.09.2009: Целая часть числа. Функция Эйлера. Теория сравнений. Свойства сравнений.
28.09.2009: Полная и привиденная системы вычетов. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма.
05.10.2009: Решение сравнений. Кольцо классов вычетов. Построение таблиц сложения и умножения по заданому модулю. Контрольная работа по теме: «Целые числа».
12.10.2009: Комплексные числа. Комплексные числа и комплексные функции. Алгебраическая форма комплексного числа. Свойства арифметических операций над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
19.10.2009: Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Муавра. Модуль комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.
26.10.2009: Мультиплекативная группа корней из единицы. Первообразные корни. Показательная форма записи комплексного числа.
02.11.2009: Многочлены и рациональные функции. Понятие многочлена. Разложение многочлена по возрастающим степеням. Деление по убывающим степеням. Теорема о делении с отстатком. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов. Теорема о линейном представлении НОД. Неприводимые многочлены. Основная теорема арифметики для многочленов.
09.11.2009: Дифференцирование многочленов. Отделение кратных множителей. Полиномиальные функции. Теорема Безу. Схема Горнера. Многочлены с комплексными коэффицентами. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Теорема Виета. Многочлены с вещественными коэффицентами.
16.11.2009: Многочлены с целыми коэффицентами. Многочлены с рациональными коэффицентами. Формулы Кардано. Метод Феррари. Многочлены от нескольких переменных.
23.11.2009: Симметрические многочлены. Поля отношений. Поле рациональных функций. Простейшие дроби. Представление многочлена в виде суммы простейших.
26.11.2009: Элементы комбинаторики. Размещение. Сочетание. Свойство симметрии. Формула и треугольник Паскаля. Перестановка. Бином Ньютона. Биномиальные коэффиценты. Подстановка n-ой степени. Умножение подстановок.
30.11.2009: Матрицы и определитени. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Умножение матриц. Свойства умножения матриц.
04.12.2009: Определители. Правила нахождения определителей. Правило треугольника. Правило Саррюса. Метод разложения по первой строчке.
07.12.2009: Свойства определителей. Определитель Ван-дер-Монда. Миноры и алгебраические дополнения.
11.12.2009: Теорема Лапласа. Теорема об определителе ступенчатой матрицы. Обратная матрица.
14.01.2010: Экзамен по курсу «Алгебра и геометрия». (1-ый семестр). Скачать вопросы.
01.02.2010: Линейные пространства. Понятие группы, кольца, поля. Ассоциативные и коммутативные кольца. Линейная оболочка.
08.02.2010: Линейная зависимость и независимость. Примеры решения задач. Теорема о ранге матрицы. Теорема о базисном миноре.
15.02.2010: Базис линейного пространства. Система образующих линейного пространства. Матрица перехода от базиса к базису. Отображение множеств. Изоморфизм линейного пространства. Свйойства изоморфизма. Ядро и образ линейного отображения.
22.02.2010: Сумма подпространств. Прямая сумма подпространств. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора. Угол между векторами.
01.03.2010: Ортогональные системы. Матрица перехода от одного базиса к другому. Процесс ортогонализации. Комплексные евклидовы пространства. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.
15.03.2010: Теорема Кронекера-Капелли. Алгоритм решения систем линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
22.03.2010: Линейные операторы. Свойства линейных операторов. Ядоо и образ линейного оператора. Матрица линейного оператора. Подобные матрицы. Свойства подобных матриц. Действия над линейными операторами. Операция «суперпозиция».
29.03.2010: Теорема Гамильтона-Кэли. Собственные векторы и собственные значения. Примеры.
05.04.2010: Сопряженный линейный оператор. Свойства сопряжения. Самосопряженный линейный оператор.
12.04.2010: Проблема диагонализируемости. Мультиплекативная группа ортогональных матриц. Критерий ортогональной матрицы. Ортогональный линейный оператор.
19.04.2010: Квадратичные формы. Понятие билинейной и квадратичной форм. Матричная запись квадратичной формы. Преобразования квадрытичных форм. Теорема Лагранжа.
26.04.2010: Закон инерции действительных квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к главным осям. Билинейная форма. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка.
03.05.2010: Каноническая форма Жордана. Относительный базис. Корневые векторы. Инвариантные подпространства.
Геометрия
10.09.2009: Векторная алгебра. Понятие вектора. Сложение векторов и умножение вектора на число. Правила треугольника, параллелограмма и параллелепипеда. Проекция вектора на ось. Свойства проекции. Координаты вектора. Свойства координат. Деление отрезка в заданном отношении.
17.09.2009: Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатной форме.
24.09.2009: Векторное произведение. Векторное произведение в координатной форме. Смешанное произведение. Двойное векторное произведение. Контрольная работа по теме: «Векторная алгебра».
08.10.2009: Уравнение прямой на плоскости. Основная теорема теории прямой на плоскости. Общее уравнение прямой и частные случаи. Взаимное расположение прямых на плоскости. Условие параллельности, перпендикулярности и совпадения. Расстояние от точки до прямой. Полярные координаты. Формулы перехода из полярной системы к декартовой (прямоугольной).
15.10.2009: Расстояние от точки до прямой. Окружность. Эллипс. Эксцентриситет и директриса.
29.10.2009: Гипербола. Парабола. Полярное уравнение линии второго порядка. Общая теорея линий второго порядка. Определение вида линии второго порядка по инвариантам.
05.11.2009: Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Параметрическое уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей двух плоскостей. Угол между плоскостями. Пучок плоскостей.
12.11.2009: Расстояние от точки до плоскости. Метод сечений. Трехосный эллипсоид. Однополостный гиперболоид. Двухполостный гиперболоид. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Двуполостный конус. Цилиндры.
19.11.2009: Общая теория поверхностей второго порядка. Совпавшие и мнимые плоскости. Параллельные плоскости. Гиперболический цилиндр. Элиптический цилиндр. Мнимый и вырожденый конус.
Методические пособия и контрольные работы:
«Целые числа» - варианты контрольных работ. Скачать
«Комплексные числа» - варианты контрольных работ. Скачать
«Многочлены» - варианты контрольных работ. Скачать
«Матрицы и определители> - варианты контрольных работ. Скачать
«Линейные пространства> - варианты контрольных работ. Скачать
Пак Г. К. «Целые числа. Комплексные числа». Скачать
Пак Г. К. «Многочлены>. Методическое пособие.Скачать
Пак Г. К. «Матрицы и определители». Методическое пособие.Скачать
Пак Г. К. «Линейные пространства. Системы линейных уравнений». Методическое пособие.Скачать
Пак Г. К. «Линейные операторы. Квадратичные формы. Каноническая форма Жордана». Скачать
Здесь можно скачать литературу по данной дисциплине:
